Формулы сокращённого умножения
- (a + b)² = a² + 2ab + b²
- (a − b)² = a² − 2ab + b²
- a² − b² = (a − b)(a + b)
- (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
- (a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³
- a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²)
- a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²)
Квадратное уравнение ax² + bx + c = 0
- Дискриминант: D = b² − 4ac
- Корни: x = (−b ± √D) / 2a; при D > 0 два корня, при D = 0 один, при D < 0 действительных корней нет.
- Теорема Виета: x₁ + x₂ = −b/a, x₁ · x₂ = c/a
- Разложение: ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂)
- Вершина параболы: x₀ = −b / 2a
Степени и корни
- aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ, aᵐ : aⁿ = aᵐ⁻ⁿ, (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ
- (ab)ⁿ = aⁿbⁿ, a⁰ = 1 (a ≠ 0), a⁻ⁿ = 1/aⁿ
- a^(m/n) = ⁿ√(aᵐ) (a ≥ 0)
- √(ab) = √a · √b (a, b ≥ 0), √(a²) = |a|
Логарифмы (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)
- Определение: logₐ b = x ⇔ aˣ = b; a^(logₐ b) = b
- logₐ 1 = 0, logₐ a = 1
- logₐ(bc) = logₐ b + logₐ c, logₐ(b/c) = logₐ b − logₐ c
- logₐ bᵏ = k · logₐ b
- Переход к новому основанию: logₐ b = log꜀ b / log꜀ a
Частая ошибка: забыть область определения. Выражение под логарифмом должно быть больше нуля — проверяйте каждый найденный корень.
Прогрессии
| Арифметическая | Геометрическая | |
|---|---|---|
| n-й член | aₙ = a₁ + (n − 1)d | bₙ = b₁ · qⁿ⁻¹ |
| Сумма n членов | Sₙ = (a₁ + aₙ)n / 2 | Sₙ = b₁(qⁿ − 1)/(q − 1), q ≠ 1 |
| Бесконечно убывающая | — | S = b₁ / (1 − q), |q| < 1 |
Тригонометрия
- sin²α + cos²α = 1, tg α = sin α / cos α, tg α · ctg α = 1
- 1 + tg²α = 1/cos²α, 1 + ctg²α = 1/sin²α
- sin 2α = 2 sin α cos α
- cos 2α = cos²α − sin²α = 1 − 2sin²α = 2cos²α − 1
- sin(α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β
- cos(α ± β) = cos α cos β ∓ sin α sin β
| α | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° |
|---|---|---|---|---|---|
| sin α | 0 | 1/2 | √2/2 | √3/2 | 1 |
| cos α | 1 | √3/2 | √2/2 | 1/2 | 0 |
| tg α | 0 | √3/3 | 1 | √3 | — |
Простейшие уравнения (n ∈ ℤ; для sin и cos нужно |a| ≤ 1):
- sin x = a ⇒ x = (−1)ⁿ arcsin a + πn
- cos x = a ⇒ x = ± arccos a + 2πn
- tg x = a ⇒ x = arctg a + πn
Производные и первообразные
| Функция f(x) | Производная f′(x) | Первообразная F(x) |
|---|---|---|
| C (число) | 0 | Cx |
| xⁿ | n·xⁿ⁻¹ | xⁿ⁺¹/(n + 1), n ≠ −1 |
| 1/x | −1/x² | ln|x| |
| √x | 1/(2√x) | (2/3)x√x |
| sin x | cos x | −cos x |
| cos x | −sin x | sin x |
| eˣ | eˣ | eˣ |
| aˣ | aˣ ln a | aˣ / ln a |
| ln x | 1/x | — |
- Правила: (u ± v)′ = u′ ± v′, (uv)′ = u′v + uv′, (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
- Касательная: y = f(x₀) + f′(x₀)(x − x₀); угловой коэффициент k = f′(x₀)
- Площадь под графиком: S = F(b) − F(a) (формула Ньютона–Лейбница)
Формулы понятны, а задачи не решаются?
Разберём на бесплатном занятии, где именно возникает трудность, и как её закрыть.
Разобрать на бесплатном урокеПланиметрия
- Теорема Пифагора: c² = a² + b²
- Теорема косинусов: c² = a² + b² − 2ab cos γ
- Теорема синусов: a / sin α = b / sin β = c / sin γ = 2R
- Площадь треугольника: S = ½ah, S = ½ab sin γ, Герон: S = √(p(p − a)(p − b)(p − c)), p — полупериметр
- Радиусы: вписанной r = S / p, описанной R = abc / 4S
- Параллелограмм S = ah, ромб S = d₁d₂ / 2, трапеция S = (a + b)h / 2
- Окружность: C = 2πR, круг S = πR², сектор S = πR²α / 360°
- Сумма углов n-угольника: 180°(n − 2)
Стереометрия
| Тело | Объём | Площадь поверхности |
|---|---|---|
| Прямоугольный параллелепипед | V = abc | S = 2(ab + bc + ac) |
| Призма | V = Sосн·h | S = Sбок + 2Sосн |
| Пирамида | V = ⅓Sосн·h | S = Sбок + Sосн |
| Цилиндр | V = πR²h | S = 2πR(R + h) |
| Конус | V = ⅓πR²h | S = πR(R + l), l — образующая |
| Шар | V = ⁴⁄₃πR³ | S = 4πR² |
Вероятность и комбинаторика
- Классическая вероятность: P = m / n (благоприятные / все равновозможные исходы)
- Перестановки: Pₙ = n!
- Размещения: Aₙᵏ = n! / (n − k)!
- Сочетания: Cₙᵏ = n! / (k!(n − k)!)
- Независимые события: P(A и B) = P(A) · P(B); несовместные: P(A или B) = P(A) + P(B)
Как учить формулы, чтобы не забыть
Формулы, выученные «на память», путаются на экзамене. Гораздо надёжнее понять, откуда они берутся: формулу понижения степени легко получить из cos 2α, площадь треугольника ½ab sin γ — из ½ah. Так мы и работаем на занятиях. План подготовки по месяцам — в статье «Как подготовиться к ЕНТ по математике».
Берик СериковичРепетитор по математике онлайн: 1–11 класс, ЕНТ, НИШ/РФМШ. Рейтинг 4,97 и 38 отзывов на Profi.kz.